« Il est impossible pour un cube d’être écrit comme la somme de deux cubes ou pour une quatrième puissance d’être écrite comme la somme de deux quatrièmes puissances ou, en général, pour n’importe quel nombre égal à une puissance supérieure à deux, d’être écrit comme la somme de deux puissances semblables. »

Autrement dit, x^n + y^n = z^n impossible quand n est strictement plus grand que 2.  

« J’ai une démonstration véritablement merveilleuse de cette proposition, que cette marge est trop étroite pour contenir. »

Voici l’observation que Pierre de Fermat écrivit aux alentours de 1637 en marge de son exemplaire de l’Arithmetica. Un défi parmi tant d’autres, lancé au monde des mathématiques par celui qu’on surnomme alors le « prince des amateurs ». C’est toutefois ce défi-là, bien précisément, qui se révèlera, par la suite, bien plus légendaire qu’il ne l’était destiné.

Sur cette simple remarque, un poil exaspérante, est né l’un des plus grands problèmes mathématiques de l’histoire. Le dernier Théorème de Fermat.

Les péripéties qui suivirent, ainsi que celles qui précédèrent, sont telles qu’elles ont bien méritées qu’un auteur s’y attarde le temps d’un ouvrage. Et qui de mieux que Simon Singh pour accomplir cette tâche ? En tant qu’écrivain vulgarisateur de sujets mathématiques, je crains qu’il soit sans égal. Son livre Le Dernier Théorème de Fermat, dont nous allons traiter dans ce billet, nous le prouve magistralement.

Vous connaissez mon intérêt pour les mathématiques. Je me suis vite trouvé en quête d’un bouquin qui me permettrait d’entretenir la flamme de la passion. J’ai lu le bien connu Théorème Vivant de Cédric Villani, mais celui-ci m’a laissé sur ma faim. J’avais besoin de quelque chose de moins autocentré, quelque chose d’inspirant. J’ai alors découvert Le Dernier Théorème de Fermat ; et quel ne fut pas un bon choix que de me plonger dans cette lecture !

Voyons quelles en sont les raisons.


#Une épopée mathématique

Il aura fallu près de quatre siècles pour que ce graal des mathématiques livre enfin ses secrets. L’exploit revient au mathématicien écossais Andrew Wiles, dans les années 90. Naturellement une bonne partie du livre lui est réservée. Toutefois, bien avant lui, bon nombre de savants hors pair s’y sont cassé les dents. N’est-il pas fascinant de voir que ce problème puisse être compris par tout collégien familier du théorème de Pythagore et qu’il soit malgré tout d’une complexité monstre à démontrer ?  

Pythagore. Voici sur qui commence le livre. Loin de plonger directement dans les tentatives de résolutions infructueuses, Simon Singh commence par poser les fondations de la théorie des nombres, sur lesquelles repose le Dernier Théorème. Cela nous projette alors au commencement même des mathématiques, là où la preuve logique s’impose sur la simple intuition, et la simple utilisation des principes. Les mathématiques n’apparaissent plus seulement comme utiles, mais comme quête désintéressée de la connaissance. « Tout est nombre » disait Pythagore. L’auteur attise ainsi sans plus attendre notre intérêt pour cette simple beauté mathématique, et de surcroît, nous propose une excellente introduction à ce concept de preuve, qu’il poursuivra tout au long du livre à travers de multiples petites énigmes qui éveilleront notre curiosité.

Vient ensuite Euclide et l’existence des nombres rationnels. Puis Diophante d’Alexandrie avec son fameux ouvrage, l’Arithmetica, sur lequel, plus d’un millénaire plus tard, Fermat inscrira son Dernier Théorème. L’introduction de toutes ces figures emblématiques des mathématiques nous permet de plonger dans les palpitantes péripéties de la bibliothèque d’Alexandrie. Ce haut lieu de la connaissance construit, détruit et reconstruit à plusieurs reprises par un mélange d’érudition, de malchance et de fanatisme religieux.

Voici à peu près comment fonctionne Simon Singh ; à son savant son époque, à son époque son contexte et ses découvertes. Celles-ci qui tendent à faire progresser le savoir, et ce fameux Dernier Théorème, bien entendu.

Ainsi nous découvrons les nombres complexes grâce à Euler au XVIIIème siècle, qui lui permettront d’avancer dans la résolution du Dernier Théorème, sans pour autant pouvoir le démontrer. Vient la notion d’invariant avec le problème de la Rivière Pregel. La notion d’infini avec Hiblert et son hôtel. La place de la femme dans les mathématiques au XVIIIème et XIXème siècle, avec Sophie Germain, alias Monsieur Le Banc. Le concept de factorisation unique avec Kummer, qui viendra infirmer les travaux de Lamé et Cauchy sur le Dernier Théorème. Le théorème d’indécidabilité de Kurt Gödel, qui allait forcer les mathématiciens à admettre que les mathématiques ne seraient jamais logiquement parfaites. Le Dernier Théorème serait-il indémontrable ?

Vient Sam Loyd, « le plus grand faiseur d’énigmes » et son fameux puzzle 14-15. Wolfskel, sa passion pour le Dernier Théorème et son prix décerné à celui qui le démontrerait. Turing, la cryptographie et son implication mathématique dans la guerre de 39-45, qui marquera la genèse des machines à calculer performantes. Taniyama et Shimura, deux génies très en avance sur leurs temps, et leur conjecture décrivant un lien entre les formes modulaires et les fonctions elliptiques. Gerhard Frey et Ken Ribet, qui démontreront par l’absurde, le lien direct entre cette conjecture et le Dernier Théorème. Evariste Galois, cet esprit brillant à la destinée tragique.

Ce n’est là qu’un aperçu de la complétude de ce livre ! Je pourrais encore citer Gauss, John Von Neumann, André Weil, Ramanujan, la transition des nombres romains aux chiffres arabes, l’introduction des nombres négatifs, les nombres premiers, les groupes cycliques, le nombre pi, les triplets pythagoriciens, mais on ne s’en sortirait plus !

Le plus impressionnant, c’est que Simon Singh arrive à rendre toute cette complexité apparente incroyablement simple, passionnante et limpide. Le lecteur se prend au jeu de cette intrigue à suspens, découvre, apprend, sans jamais se lasser.

Peut-être devrions-nous intégrer aux cursus scientifiques l’étude de quelques-uns de ces livres. Il est alors certain que quelques intérêts - perdus au travers de cours trop formalistes – ressurgiraient.


#Autod​​​​idactisme

Cette plongée dans la vie des plus grands mathématiciens de l’histoire nous fait prendre conscience que bon nombre d’entre eux ont beaucoup appris par eux-mêmes. Le plus connu de ces autodidactes est sans nul doute Srinivasa Ramanujan, qui acquit ses connaissances de deux uniques livres qu’il se procura avant l’âge de seize ans. Pierre de Fermat lui-même n’était, semble-t-il, pas destiné aux exploits qu’on lui connait en mathématiques. Il suivit des études de droit, puis loin de la sphère scientifique, exerça une activité juridique pour le compte du roi. Ce n’est que son ardente passion ainsi que son unique maître – l’Arithmetica de Diophante - qui le poussa dans ses travaux sur la théorie des nombres. Doit-on parler de Sophie Germain, qui fut contrainte d’utiliser un nom masculin pour étudier et faire connaitre ses recherches. On comprend alors facilement qu’elle n’était guère encouragée à l’étude des mathématiques.

Toutefois le récit qui m’a le plus interpellé est celui de Gorō Shimura, dont l’éducation fut fort troublée par le contexte de l’époque. Bien qu’il du participer à l’effort de guerre en 39-45, il mit à profit tout son temps libre pour combler le temps perdu. Ce n’est pas si naturellement qu’il se dirigea vers les mathématiques, mais plutôt par commodité, cette matière ne nécessitant pas de matériel coûteux qu’il ne pouvait se procurer. Quelques bons livres suffisaient - et c’est ainsi qu’un génie pu naître.


« Je n’ai jamais pensé que j’étais doué. J’étais simplement curieux. »

Goro Shimura


L’autodidactisme ne peut se suffire à lui-même. Toutefois je trouve bon de s’inspirer de ceux qui suivent cette démarche, car s’ils partagent une caractéristique commune, c’est bien leur passion ardente pour leur sujet d’étude. Ainsi nous découvrons qu’il est possible de travailler intensément et passionnément pour une finalité autre que l’utile et la bonne place dans la société – au fond très insatisfaisante. Au-delà de ce jugement qui, je vous l’accorde porte à débat, l’étude de la vie de ces quelques personnalités témoigne d’une éducation non nécessairement réservée à l’école. Il existe une multitude d’autres moyens de s’en procurer une. Et j’ai pourtant la triste impression que cette perspective est bien trop peu développée de nos jours. Ce blog permettra, je l’espère, de faire germer quelques nouveautés à ce sujet.


#Communiquer avec le subconscient

Voici une dernière chose dont j’aimerais vous parler : la manière dont Andrew Wiles aborde ses problèmes mathématiques les plus challengeants. Résoudre le Dernier Théorème requiert bien plus que de simples connaissances sur le sujet - quand bien même elles soient solides. Outre la persévérance, il semble qu’un ingrédient supplémentaire vienne se glisser dans l’équation. Une touche d’intuition - de génie. Evidemment allez-vous me dire. Certes, mais cette touche n’est pas si inatteignable qu’elle en a l’air. Andrew Wiles dispose assurément de solides connaissances en mathématiques. Mais une fois celles-ci acquises, il devient capable de libérer son esprit des contraintes techniques pour le concentrer sur ce dont il a vraiment besoin : créer l’intuition.

Ce que ça donne en pratique ? Lui-même le résume très bien : « A la base, c’est un tour d’esprit. Parfois, on prend des notes pour clarifier ses pensées, mais pas nécessairement. En particulier, quand on est arrivé à une véritable impasse et quand il y a un vrai problème, le processus ordinaire de réflexion mathématique ne sert à rien. Pour atteindre cette idée nouvelle, il faut qu’il y ait eu auparavant une longue période de formidable concentration sur le problème, sans aucune distraction. Il faut ne penser à rien d’autre qu’à ce problème, seulement se concentrer dessus. Après on arrête. Suit une période qui ressemble à la détente, durant laquelle il semble que ce soit le subconscient qui prend la direction des opérations, et c’est alors qu’on a des idées nouvelles. »

Et c’est alors que naît l’imagination créatrice. Celle qui crée les idées à la racine des plus grandes découvertes ou des plus grandes inventions de notre monde. Cette notion de subconscient, je l’ai découverte grâce aux travaux de Napoléon Hill. Selon lui, un esprit bien préparé pourrait faire appel, via son subconscient, à ce qu’il appelle « l’intelligence Infinie ». Un domaine supérieur d’intelligence extérieur au cerveau humain.

La longue période de formidable concentration dont nous parle Andrew Wiles lui permet de nourrir son subconscient d’informations bien spécifiques. Une fois l’esprit au repos, celui-ci serait alors capable de les traiter et de renvoyer une réponse que le conscient pourrait intercepter. L’intelligence infinie intervient dans ce traitement. Ou n’est-ce que le résultat de mécanismes cérébraux qui me serait encore inconnu ?

Etant très scientifique dans l’âme, je ne peux que mettre cette idée à l’épreuve et me questionner sur sa pertinence. Napoléon Hill lui-même appuie ses travaux sur d’innombrables études de cas. Et de mon côté, plus je lis, plus je me rends compte que cette idée semble avoir son penchant de vérité. Ce dernier livre ne fait pas exception.

J’ai conscience que tout cela est encore confus et qu’il faudra que je développe sur le sujet. Quoi qu’il en soit, il y a là matière à penser, et cette lecture du Dernier Théorème de Fermat vient une fois de plus renforcer l’idée que je me fais du fonctionnement de l’esprit humain.


#Et quel théorème ! 

Vous l’aurez compris, outre le Dernier Théorème de Fermat, Simon Singh nous propose dans son ouvrage - aux faux airs de livre scientifique - une véritable plongée dans les méandres de la théorie des nombres ; ainsi que quelques réflexions annexes auxquelles j’ai été sensible.

Il faut dire que cette quête de livres inspirants sur les mathématiques m’a mené sur un petit bijou de vulgarisation. Je ne saurais que trop le recommander à qui souhaite se plonger, ou replonger dans cette matière qui souvent rebute - bien à tort. Loin de paraître froide ou inaccessible, Simon Singh la rend on ne peut plus vivante et passionnante. On se surprendrait même à penser les mathématiques à portée de mains ! Elles nécessitent beaucoup de travail bien entendu, mais quand la flamme de l’enthousiasme est là, peu de choses nous font obstacle.


Si cette lecture vous intéresse :

Lien vers la version française du Dernier Théorème de Fermat sur Amazon sur Amazon

Lien vers la version anglaise du Dernier Théorème de Fermat sur Amazon



Note de fin.

Quelques jours seulement après avoir terminé la rédaction de ce billet, je suis tombé sur cet exposé du mathématicien français Étienne Ghys. L’intérêt de vous le proposer ici est double. À l’image du dernier Théorème de Fermat, il commence par introduire Pythagore et son fameux triangle rectangle. Et tout comme Simon Singh, il ouvre sur une réflexion qui ne peut que susciter intérêt et curiosité.  

N’hésitez-pas à dire ce que vous en pensez en commentaires. 


Photo Credit: Charles Rex Arbogast/AP